技術レポート一覧



FFTアナライザについて
(page6)

4.2 線形性

2つの信号 x1 (n) と x2 (n) の和の信号に対する FFT は、個々の FFT を行った結果の和と一致します。

F をフーリエ変換とすると;

sv_equ6.gif (1312 バイト)

が成立します。これは、個々のスペクトルは cos 波形と考えられるので、x1、x2 を   sv_equ8.gif (1037 バイト) と置くとわかりやすくなります。

sv_equ7.gif (1380 バイト)

上式の関係をスペクトルで表すと;

イラスト(線形性)

FFT アナライザの表示では、全体として複雑なスペクトル波形として現れてきますが、それは、個々のスペクトル = 個々の現象の集まったものと考えられます。また、信号 x1 を C 倍(C はスカラー量)した信号に対する FFT は、x1 の FFT を C 倍した結果と一致します。

すなわち;

sv_equ9.gif (1056 バイト)

この関係は、加速度センサや騒音計からの入力信号を FFT 分析する際に、スケールを m/s2 や騒音計の dB 単位に校正する機能として利用されています。

 

4.3 データの移動

あるサンプル値列 x1 (n) があり、そのサンプリング値列を l(エル)だけ平行移動させたサンプル値列 x2 (n) に対する FFT の結果は、x1 (n) の FFT の結果と位相の変化が生じるだけで、パワースペクトルは一致します。

sv_equ10.gif (1156 バイト)

下のデータ4は、上段が 10 Hz の cos 波のサンプル値列、2段目がそのスペクトル、3段、4段目は、それぞれフーリエスペクトルのリアルパート及びイマジナリパートを表示しています。

データ画面(データ4は、上段が 10 Hz の cos 波のサンプル値列、2段目がそのスペクトル、3段、4段目は、それぞれフーリエスペクトルのリアルパート及びイマジナリパートを表示)

<データ 4>

また、データ5は、データ4と位相を変えた信号で、上段が 10 Hz の cos 波のサンプル値列、2段目がそのパワースペクトル、3段、4段目は、それぞれフーリエスペクトルのリアルパート及びイマジナリパートを表示しています。

 

データ画面(データ5は、データ4と位相を変えた信号で、上段が 10 Hz の cos 波のサンプル値列、2段目がそのパワースペクトル、3段、4段目は、それぞれフーリエスペクトルのリアルパート及びイマジナリパートを表示)

<データ 5>

 

データ4と5を比較してみると、パワースペクトルは +0.16 dB と同じ値ですが、リアルパート及びイマジナリパートの各値が異なります。これは、波形sv_equ12.gif (1040 バイト) Hzを基準に位相を見るとデータ5は;

sv_equ11.gif (1460 バイト)

より、+51.84(度)の位相差があるためです。この位相関係を表示したのがデータ6下段の位相スペクトルです。

 

データ画面(データ6の下段に位相関係を表す位相スペクトルを表示)

<データ 6>

 

このように、DFT の特徴は数学的に示すことができます。DFT では、時間領域での複雑な計算(= 考え方)が、周波数領域では簡単な計算となります。前号 3-4 項式 3-16、17 での DFT、IDFT の中での x (n)、X(k)はそれぞれ数値列であり、e-aj を掛けるか、eaj を掛けるかの違いだけです(a = 2πkn/N)。極論すれば、サンプル列に e-aj を掛ければ DFT、eaj を掛ければ IDFT であるといえます。実際、DFT も IDFT も FFT の手法を利用しているわけです。

ここで、FFT の主な特徴をまとめてみると次のようになります。F[x] をフーリエ変換とすると;

 

(1)線形結合

sv_equ13.gif (1369 バイト)

(2)対称性

(フーリエ変換X(ω)を波形X(t)とすると、その逆変換はx(-ω)になる)

(3)相似性

sv_equ15.gif (1232 バイト)

時間軸データを大きくとると(t → at)、周波数分解能は向上する(ω → ω/a)が、その分パワーは分散される。(1 → 1/a)

イラスト(相似性)

 

(4)平行移動

sv_equ16.gif (1157 バイト)

(5)微分

sv_equ17.gif (1182 バイト)

時間領域のn回微分は、現波形のスペクトルに sv_equ17_2.gif (920 バイト) をかけたものとなる。

(6)積分

sv_equ18.gif (1395 バイト)

時間領域のn回積分は、現波形のスペクトルに sv_equ18_2.gif (968 バイト) を掛けたものとなる。

(7)合成積

sv_equ19.gif (1954 バイト)

上式は、コンボリューション(畳み込み積分)といわれ、このフーリエ変換は、f1、f2 の個々のフーリエ変換の積となる。なお、この式は、ある信号系の入力と出力の関係を表す式で、周波数応答関数(伝達関数)測定に利用されます。

(8)保存則

sv_equ20.gif (1378 バイト)

これは、パーシバルの定理で、同一現象であれば、時間領域でも周波数領域でも同じことを表現している根拠となっています。すなわち、左辺は信号 f (t) の全エネルギーを表し、右辺はその全エネルギーが各周波数成分にどの様に分布しているかを表しており、エネルギー保存の法則を示しています。FFT アナライザでは、オーバオールとして右辺の周波数スペクトルから計算・表示しています。サンプリング定理のため帯域制限していることに注意が必要です。

 

 

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